Question

【題目】如圖，已知正方形的邊長為,點分別在邊上, 與的交點為， ,現將沿線段折起到位置，使得．

(1)求證：平面平面；

(2)求五棱錐的體積；

(3)在線段上是否存在一點,使得平面？若存在，求；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）存在.

【解析】試題分析：(1)要證平面平面，即證平面；

(2) 連接AC，設AC∩EF=H，由已知條件推導出平面A′HC⊥平面ABCD，過點A′作A′O垂直HC且與HC相交于點O，則A′O⊥平面ABCD，由此能求出五棱錐A′-BCDFE的體積．
（3）線段A′C上存在一點M，使得BM∥平面A′EF，A′M=．證明平面MBD∥平面A′EF， 即可得出結論．

試題解析：

（1）由是正方形， ， 是的中點，且，從而有所以平面， 從而平面，平面.

（2）過點作垂直且與相交于點，由（1）知平面，

因為正方形的邊長為， ，得到： ，

所以，所以

所以五棱錐的體積.

（3）線段上存在點，使得平面， ．

證明： ， ，所以，所以平面，

又，所以平面， 所以平面平面，

由在平面內，所以平面.