Question

甲同學從一個半徑為r的半圓形鐵板中截取一塊矩形ABCD，記其最大面積為S_甲，乙同學從一個半徑為R的圓形鐵板中截取一塊矩形EFGH，記其最大面積為S_乙，試問r和R滿足什么關系時，S_甲=S_乙？說明理由．

Answer 1

分析：設圓心是O，連接OD，設∠COD=α，矩形ABCD的面積為S，則S=AB•BC=2OB•BC=r²sin2α，由三角函數的知識，得出S的最大值以及對應BC的值，同樣的方法表示出四邊形EFGH的面積，求出最值，進行比較．

解答：解：如圖所示，S_ABCD=r²sin2α，α∈(0，

π

2

)…（3分）
當α=

π

4

時，S_甲=r²…（1分） 
S_EFGH=2R²sin2β   β∈(0，

π

2

)…（3分）
當β=

π

4

時，S_乙=2R²…（1分）
所以，r和R滿足r²=2R²時，S_甲=S_乙…（1分）
即當r和R滿足r²=2R²時，S_甲=S_乙．

點評：本題考查函數的模型的選擇和應用，本題關鍵是如何利用角θ表示矩形的長與寬，合理地把長與寬表示出來，根據三角函數的性質求出最值．