Question

已知向量=（sin（ωx+ϕ），2），=（1，cos（ωx+ϕ）），函數f（x）=（+）•（-）的圖象過點，且該函數相鄰兩條對稱軸間的距離為2．
（Ⅰ）求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）將函數y=f（x）圖象按向量=平移后，得到函數y=g（x）的圖象，討論函數y=g（x）在區間[1，2]上的單調性．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）通過函數f（x）=（+）•（-）利用向量的數量積，結合三角函數的二倍角公式化簡函數的表達式，利用周期求出ω，圖象通過點，求出ϕ，得到函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）將函數y=f（x）圖象按向量=平移后，得到函數y=g（x）的圖象，得到函數的解析式，根據[1，2]求出函數的單調性．
解答：解：（Ⅰ）f（x）=（+）•（-）=²-²=||²-||²=sin²（ωx+ϕ）+4-cos²（ωx+ϕ）-1=3-cos（2ωx+2ϕ）．
∴f（x）的最小正周期為，即．
又f（x）的圖象過點M（），
∴，即．
而，∴，則．
∴f（x）=..…（6分）
（Ⅱ）依題意，．
∵x∈[1，2]，∴．
∴函數y=g（x）在[1，2]上單調遞減．…（12分）
點評：本題是中檔題，通過向量的數量積，三角函數的公式的應用，函數圖象的特點求出函數的解析式是解題的關鍵，注意角的范圍，考查計算能力．