Question

已知向量

a

=（sinθ，cosθ-2sinθ），

b

=（1，2）
（1）若

a

⊥

b

，求tanθ的值；
（2）若

a

∥

b

，且θ為第Ⅲ象限角，求sinθ和cosθ的值．

Answer 1

分析：（1）根據兩個向量垂直的性質可得

a

•

b

=sinθ+2cosθ-4sinθ=0，由此解得tanθ的值．
（2）根據兩個向量共線的性質可得2sinθ-（cosθ-2sinθ）=0，由此求得tanθ的值，再由sin²θ+cos²θ=1，
以及θ為第Ⅲ象限角求得sinθ和cosθ的值．

解答：解：（1）∵向量

a

=（sinθ，cosθ-2sinθ），

b

=（1，2），

a

⊥

b

，
∴

a

•

b

=sinθ+2cosθ-4sinθ=0，解得tanθ=

2

3

．…（6分）
（2）∵

a

∥

b

，向量

a

=（sinθ，cosθ-2sinθ），

b

=（1，2），
∴2sinθ-（cosθ-2sinθ）=0，化簡可得tanθ=

1

4

．
再由θ為第Ⅲ象限角以及sin²θ+cos²θ=1，
解得sinθ=-

17

17

，cosθ=-

4 17

17

． …（6分）

點評：本題主要考查兩個向量共線、垂直的性質，同角三角函數的基本關系，屬于基礎題．