Question

欲建一個圓柱形無蓋的凈水池，要求它的容積為1000πm³，問如何選擇它的直徑和高，才能使所用的材料最省，最省為多少？

Answer 1

分析：設圓柱的底面半徑，高，要求用料最省即圓柱的表面積最小，由題意可得表面積的表示式，利用導數做出函數的最值，并且看出取得最值時，自變量的取值．

解答：解：欲使材料最省，即為表面積最小，設圓柱面半徑為R（m），高為h（m）
則h=

1000

R2

…（2分）
材料的面積S(R)=πR2+2πR×

1000

R2

=πR2+

2000π

R

（R＞0）…（6分）
求導有S′(R)=2πR-

2000π

R2

令S'（R）=0得R=10，此時h=10，
得到函數在（0，10）上單調遞減，在（10，+∞）上單調遞增，
∴當R=h=10時，所用的材料最省，此時的表面積是300πm²，
答：當R=h=10時，所用的材料最省，此時的表面積是300πm²．

點評：本題考查函數模型的選擇與應用，本題解題的關鍵是寫出表面積的表示式，再利用導數求函數的最值，本題是一個中檔題目．