Question

（滿分20分）本題有2小題，第1小題12分，第2小題8分．

設為定義域為的函數(shù)，對任意，都滿足：，，且當時，

（1）請指出在區(qū)間上的奇偶性、單調(diào)區(qū)間、最大（小）值和零點，并運用相關定義證明你關于單調(diào)區(qū)間的結(jié)論；

（2）試證明是周期函數(shù)，并求其在區(qū)間上的解析式．

Answer 1

解：（1）偶函數(shù)；.………………………………………………………………………1分

最大值為、最小值為0；.…………….……………………………………………………1分

單調(diào)遞增區(qū)間：單調(diào)遞減區(qū)間：；...…………………………………………1分

零點：．.…………………………..……………………………………………………1分

單調(diào)區(qū)間證明：

當時，

設，，

證明在區(qū)間上是遞增函數(shù)

由于函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，且恒成立，

所以，，

所以，在區(qū)間上是增函數(shù)．…………………………………………………….4分

證明在區(qū)間上是遞減函數(shù)

【證法一】因為在區(qū)間上是偶函數(shù)．

對于任取的，，有

所以，在區(qū)間上是減函數(shù)． …………………………………………………..4分

【證法二】設，由在區(qū)間上是偶函數(shù)，得

以下用定義證明在區(qū)間上是遞減函數(shù) ………………………………………..4分

（2）設，，

所以，2是周期．        ……………………………………………………………4分

當時，，

所以………………………………………….4分