Question

（滿分20分）本題有2小題，第1小題12分，第2小題8分．

已知數列{}和{}滿足：對于任何，有，為非零常數），且．

（1）求數列{}和{}的通項公式；

（2）若是與的等差中項，試求的值，并研究：對任意的，是否一定能是數列{}中某兩項（不同于）的等差中項，并證明你的結論．

Answer 1

解：（1）【解一】由得，

．

又，，．

所以，{}是首項為1，公比為的等比數列，．…………………………….5分

由，得

所以，當時，……………………………………………….6分

上式對顯然成立．………………………………………………………………………..1分

【解二】猜測，并用數學歸納法證明 …………………………………………….5分

的求法如【解一】  ………………………………………………………………………..7分

【解三】猜測，并用數學歸納法證明 ………………………….7分

  …………………………………………………………………..5分

（2）當時，不是與的等差中項，不合題意；……………………………….1分

當時，由得，

由得（可解得）..…………………………………………2分

對任意的，是與的等差中項． .………………………………….2分

證明：，

，                     .………………………………….3分

即，對任意的，是與的等差中項．