Question

已知函數f（x）的定義域為R，對任意實數m，n都有f(m+n)=f(m)+f(n)+

1

2

，且f(

1

2

)=0，當x＞

1

2

時，f（x）＞0．
（1）求f（1）；
（2）求和f（1）+f（2）+…+f（n）（n∈N*）；
（3）判斷函數f（x）的單調性并證明．

Answer 1

分析：（1）在已知等式中，令m=n=

1

2

，可以求出f（1）的值．
（2）由f（1）的值和已知等式，依次求出f（2）、f（3）、…f（n），利用等差數列的求和公式計算出所求式子的值．
（3）寫出f（x）的解析式，依據單調性的定義證明在其定義域內單調遞增．

解答：解：（1）f（1）=f（

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2

）+f（

1

2

）+

1

2

=0+0+

1

2

=

1

2

，（2分）
（2）∵f（2）=f（1）+f（1）+

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2

=3×

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2

，
f（3）=f（2）+f（1）=5×

1

2

，…
f（n）=（2n-1）×

1

2

，
∴f（1）+f（2）+…+f（n）=

1

2

（1+3+5+…（2n-1））=

1

2

n²（7分）
（3）f（x）=（ 2x-1）×

1

2

=x-

1

2

，在其定義域內是增函數，
證明：設  a＜b，f（b）-f（a）=（b-

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2

）-（a-

1

2

）=b-a，由題設知，b-a＞0，
∴f（b）-f（a）＞0，f（b），＞f（a），∴f（x）在其定義域內是增函數．

點評：本題考查抽象函數的應用、數列求和、函數的單調性的證明．