Question

已知函數f（x）=bx²+cx滿足f（1）=0，且b²+c²≠0．若方程f（x）•[（f（x）²+bf（x）+c]=0恰有兩個不相等的實數根，則正實數c的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：根的存在性及根的個數判斷

專題：函數的性質及應用

分析：方程f（x）•[（f（x）²+bf（x）+c]=0恰有兩個不相等的實數根，則實根只能是0和1，故（f（x）²+bf（x）+c=0無實根，進而可得正實數c的取值范圍．

解答： 解：∵函數f（x）=bx²+cx滿足f（1）=0，c＞0，
故b=-c＜0，
則當x=

1

2

時，函數f（x）=bx²+cx有最大值

1

4

c2
若b²-4c＜0，即c²-4c＜0，即0＜c＜4時，（f（x）²+bf（x）+c=0無解，
此時方程f（x）•[（f（x）²+bf（x）+c]=0恰有兩個不相等的實數根0，1，滿足條件；
若b²-4c≥0，即c²-4c≥0，即c≥4時，
由方程f（x）•[（f（x）²+bf（x）+c]=0恰有兩個不相等的實數根，
故

-b± b2-4c

2

=

c± c2-4c

2

∉（-∞，

1

4

c2]，
即

c- c2-4c

2

＞

1

4

c2，此時不等式無解，
綜上所述，正實數c的取值范圍為0＜c＜4，
故答案為：0＜c＜4

點評：本題考查的知識點是根的存在性及根的個數判斷，其中正確理解（f（x）²+bf（x）+c=0無實根，是解答的關鍵．