Question

已知外接圓的半徑為，且．

（Ⅰ）求邊的長及角的大��；

（Ⅱ）從圓內隨機取一個點，若點取自內的概率恰為，試判斷的形狀．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ），；（Ⅱ）為等邊三角形.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）先利用的定義結合計算出的大小，然后在中利用余弦定理即可求出邊的長，對于角的大小可以根據性質“同弧所對的圓周角是圓心角的一半來計算；（Ⅱ）先利用幾何概型計算出的面積，然后利用三角形的面積公式及余弦定理等求出的三條邊、、的大小，進而確定的形狀.

試題解析：（Ⅰ）依題意，      2分

得，又，故， 4分

又為等腰三角形， 故，       5分

而或．      6分

（Ⅱ）依題意，從圓內隨機取一個點，取自內的概率，

可得．      8分

設，.設，由，得，    ① 

由，得，    ②

聯立①②得,這是不可能的. 所以必有.        9分

由，得，    ①

由，得，   ②   11分

聯立①② 解得.

所以為等邊三角形．      12分

考點：平面向量的數量積、圓周角定理、余弦定理、幾何概型、三角形的面積公式