Question

已知橢圓c：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），左、右兩個焦點分別為F₁、F₂，上頂點A（0，b），△AF₁F₂是正三角形且周長為6．
（1）求橢圓C的標準方程及離心率；
（2）O為坐標原點，P是直線F₁A上的一個動點，求|PF₂|+|PO|的最小值，并求出此時點P的坐標．

Answer 1

（1）由題意，得

a=2c a+a+2c=6 a2=b2+c2

，解之得a=2，b=

3

，c=1
故橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1，離心率e=

1

2

；
（2）∵△AF₁F₂是正三角形，可得直線AF₁的斜率為k=tan

π

3

=

3

∴直線AF₁的方程為y=

3

（x+1）
設點O關于直線AF₁的對稱點為M（m，n），則

n m • 3 =-1 n 2 = 3 ( m 2 +1)

，
解之得m=-

3

2

，n=

3

2

，可得M坐標為（-

3

2

，

3

2

），
∵|PO|=|PM|，|PF₂|+|PO|=|PF₂|+|PM|＞|MF₂|
∴|PF₂|+|PM|的最小值為|MF₂|=

(- 3 2 -1)2+( 3 2 -0)2

=

7

直線MF₂的方程為y=

3 2 -0

- 3 2 -1

（x-1），即y=-

3

5

（x-1）
由

y=- 3 5 (x-1) y= 3 (x+1)

解得

x=- 2 3 y= 3 3

，所以此時點P的坐標為（-

2

3

，

3

3

）．
綜上所述，可得求|PF₂|+|PO|的最小值為

7

，此時點P的坐標為（-

2

3

，

3

3

）．