Question

定義在R上函數(shù)f（x）滿足條件：f（x+2）=

1

f(x)

，當x∈（0，2）時，f(x)=(

1

2

)x，則f（2011）=

2

．

Answer 1

分析：函數(shù)解析式只知道一部分，而要求的函數(shù)值的自變量不在此區(qū)間上，由題設條件知本題中所給的函數(shù)是一個周期性函數(shù)，
故可以利用周期性這一性質(zhì)將要求的函數(shù)值轉化到區(qū)間（0，2）上求解．

解答：解：由題意定義在R上的函數(shù)f（x），f（2+x）=

1

f(x)

，由此式恒成立可得，此函數(shù)的周期是4．
又當x∈（0，2）時，f（x）=(

1

2

)x，則f（1）=

1

2

，
由此f（2011）=f（4×502+3）=f（3）=

1

f(1)

=2．
故答案為 2．

點評：本題考點是函數(shù)的值，本題考查利用函數(shù)的性質(zhì)通過轉化來求函數(shù)的值，是函數(shù)性質(zhì)綜合運用的一道好題．
對于本題中恒等式的意義要好好挖掘，做題時要盡可能的從這樣的等式中挖掘出信息．