Question

定義在R上函數f（x）滿足f（0）=0，f（x）+f（1-x）=1，且f(

x

5

)=

1

2

f(x)當0≤x₁＜x₂≤1時，f（x₁）≤f（x₂），則f(

1

2011

)=（　　）

• A．

  1

  2

• B．

  1

  16

• C．

  1

  32

• D．

  1

  64

Answer 1

分析：由f（x）+f（1-x）=1利用賦值可得得的f（1）=1，f（

1

2

）=

1

2

，由f（

x

5

）=

1

2

f（x）得，
f（

1

5

）=

1

2

f（1），f（

1

25

）=

1

2

f（

1

5

），f（

1

125

）=

1

2

f（

1

25

），…可得f（

1

3125

）=

1

2

f（

1

625

）=

1

32

．
再由f（

x

5

）=

1

2

f（x）得f（

1

10

）=

1

2

f（

1

2

）=

1

4

，f（

1

50

）=

1

2

f（

1

10

）=

1

8

，…可得f（

1

1250

）=

1

2

f（

1

250

）=

1

32

由0≤x₁＜x₂≤1時，f（x₁）≤f（x₂），及f（

1

3125

）≤f（

1

2011

）≤f（

1

1250

），f（

1

3125

）=f（

1

1250

）=

1

32

可求f（

1

2011

）

解答：解：∵f（x）+f（1-x）=1
令x=1得的f（1）=1，x=

1

2

得f（

1

2

）=

1

2

，
∵f（

x

5

）=

1

2

f（x）得，
f（

1

5

）=

1

2

f（1）=

1

2

，f（

1

25

）=

1

2

f（

1

5

）=

1

4

，f（

1

125

）=

1

2

f（

1

25

）=

1

8

，f（

1

625

）=

1

2

f（

1

125

）=

1

16

，f（

1

3125

）=

1

2

f（

1

625

）=

1

32

．
由f（

x

5

）=

1

2

f（x）得
f（

1

10

）=

1

2

f（

1

2

）=

1

4

，f（

1

50

）=

1

2

f（

1

10

）=

1

8

，f（

1

250

）=

1

2

f（

1

50

）=

1

16

，f（

1

1250

）=

1

2

f（

1

250

）=

1

32

，
∵0≤x₁＜x₂≤1時，f（x₁）≤f（x₂），
由f（

1

3125

）≤f（

1

2011

）≤f（

1

1250

）及f（

1

3125

）=f（

1

1250

）=

1

32

得f（

1

2011

）=

1

32

．
故選C．

點評：本題主要考查了在抽象函數中利用賦值法求解函數值的應用，解決問題的關鍵是通過賦值得到f(

1

3125

)=f(

1

1250

)=

1

32

及兩邊夾求解出函數的值，要主要此方法的應用．