Question

設定義在R上函數f（x）的圖象與函數g（x）=a（x-2）+2（2-x）³（a為常數）的圖象關于直線x=1對稱．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；?
（Ⅱ）設F(x)=(

f(x)

x

+4lnx)′，當m＞0時，判斷F（m³）與F（m²）的大小關系，并說明理由．

Answer 1

分析：（I）由題意可得f（x）=g（2-x）即可；
（II）由（I）可得F（x），利用導數的運算法則可得F′（x），進而得到單調性．比較m³與m²的大小，再利用單調性即可得出F（m³）與F（m²）的大小關系．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）與 g（x）的圖象關于直線x=1對稱，
∴f（x）=g（2-x），
∴f（x）=g（2-x）=-ax+2x³．
（Ⅱ） F(x)=(

f(x)

x

+4lnx)′=4x+

4

x

=4(x+

1

x

)，
∴F′(x)=4(1-

1

x2

)，∴x∈（0，1）時，F（x）單調遞減；x∈（1，+∞），F（x）單調遞增．
當0＜m＜1，0＜m³＜m²＜1，∴F（m³）＞F（m²），
當m=1，F（m³）=F（m²），
當m＞1，m³＞m²＞1
∴F（m³）≥F（m²）．

點評：熟練掌握軸對稱、利用導數研究函數的單調性、作差法比較兩個數的大小等是解題的關鍵．