Question

已知函數(shù)f（x）=|x-2|，g（x）=-|x+3|+m．
（1）解關(guān)于x的不等式f（x）+a-1＞0（a∈R）；
（2）若函數(shù)f（x）的圖象恒在函數(shù)g（x）圖象的上方，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）不等式轉(zhuǎn)化為|x-2|+|a-1＞0，對參數(shù)a進(jìn)行分類討論，分類解不等式；
（2）函數(shù)f（x）的圖象恒在函數(shù)g（x）圖象的上方，可轉(zhuǎn)化為不等式|x-2|+|x+3|＞m恒成立，利用不等式的性質(zhì)求出|x-2|+|x+3|的最小值，就可以求出m的范圍．
解答：解：（Ⅰ）不等式f（x）+a-1＞0即為|x-2|+a-1＞0，
當(dāng)a=1時(shí)，解集為x≠2，即（-∞，2）∪（2，+∞）；
當(dāng)a＞1時(shí)，解集為全體實(shí)數(shù)R；
當(dāng)a＜1時(shí)，解集為（-∞，a+1）∪（3-a，+∞）．
（Ⅱ）f（x）的圖象恒在函數(shù)g（x）圖象的上方，即為|x-2|＞-|x+3|+m對任意實(shí)數(shù)x恒成立，
即|x-2|+|x+3|＞m恒成立，（7分）
又由不等式的性質(zhì)，對任意實(shí)數(shù)x恒有|x-2|+|x+3|≥|（x-2）-（x+3）|=5，于是得m＜5，
故m的取值范圍是（-∞，5）．
點(diǎn)評：本題考查絕對值不等式的解法，分類討論的方法，以及不等式的性質(zhì)，涉及面較廣，知識性較強(qiáng)．