Question

已知直線ax+by-1=0（a，b不全為0）與圓x²+y²=50有公共點，且公共點的橫、縱坐標均為整數，那么這樣的直線有

1. A.
   66條
2. B.
   72條
3. C.
   74條
4. D.
   78條

Answer 1

B
分析：先考慮在第一象限找出圓上橫、縱坐標均為整數的點有3個，依圓的對稱性知，圓上共有3×4=12個點橫縱坐標均為整數，經過其中任意兩點的割線有12個點任取2點確定一條直線，利用計數原理求出直線的總數，過每一點的切線共有12條，又考慮到直線ax+by-1=0不經過原點，如圖所示上述直線中經過原點的有6條，所以滿足題意的直線利用總數減去12，再減去6即可得到滿足題意直線的條數．
解答：當x≥0，y≥0時，圓上橫、縱坐標均為整數的點有（1，7）、（5，5）、（7，1），
根據題意畫出圖形，如圖所示：

根據圓的對稱性得到圓上共有3×4=12個點橫縱坐標均為整數，
經過其中任意兩點的割線有C₁₂²=66條，過每一點的切線共有12條，
上述直線中經過原點的有6條，如圖所示，
則滿足題意的直線共有66+12-6=72條．
故選B
點評：此題考查了直線與圓的位置關系，以及計數原理的運用．根據對稱性找出滿足題意的圓上的整數點的個數是解本題的關鍵．