Question

若n-m表示[m，n]（m＜n）的區間長度，函數f(x)=

a-x

+

x

(a＞0)的值域區間長度為

2

-1，則實數a的值為（　　）

• A．4
• B．2
• C．

  2

• D．1

Answer 1

分析：首先求出函數的定義域，把給出的函數式兩邊平方后利用配方法得到函數y²的值域，開方得到原函數的值域，利用給出的區間長度定義列式求出a的值．

解答：解：由

a-x≥0 x≥0

，得0≤x≤a，所以函數f（x）的定義域為[0，a]．
令y=f（x），則y＞0，且y2=(

a-x

+

x

)2=a+2

x(a-x)

=a+2

-(x- a 2 )2+ a2 4

．
當x=

a

2

時，y²取最大值2a，當x=0或a時，y²取最小值a，
從而f（x）的值域為[

a

，

2a

]，區間長度為

2a

-

a

=

2

-1，
所以

a

(

2

-1)=

2

-1，解得a=1．
故選D．

點評：本題考查了函數的值域，考查了配方法，解答此題的關鍵是能夠想到把原函數兩邊進行平方，是基礎題．