Question

若 n-m表示[m，n]的區間長度，函數f(x)=

a-x

+

x

(a＞0)的值域的區間長度為2(

2

-1)，則實數a的值為

4

．

Answer 1

分析：在定義域條件下，將已知式子的兩邊平方可化為y2=2

-(x- a 2 )2+ a2 4

+a，由二次函數的單調性及0≤x≤a，可求出函數f（x）的值域，進而可求出a的值．

解答：解：首先求函數f（x）的定義域，∵

a-x≥0 x≥0

，∴0≤x≤a．
所以函數f（x）的定義域為{x|0≤x≤a}．
將y=

a-x

+

x

的兩邊平方得：y2=a-x+x+2

x(a-x)

，
即y2=2

-(x- a 2 )2+ a2 4

+a，
由二次函數的單調性及0≤x≤a得
0≤-(x-

a

2

)2+

a2

4

≤

a2

4

，
∴a≤y²≤2a，∴

a

≤y≤

2a

，
∴函數f（x）的值域為[

a

，

2a

]．
由已知函數f(x)=

a-x

+

x

(a＞0)的值域的區間長度為2(

2

-1)，
∴(

2

-1)

a

=2(

2

-1)，
∴

a

=2，解得a=4．
故實數a的值為4．
故答案為4．

點評：本題考查了函數的值域，將含有根號的等式的兩邊平方及利用二次函數的單調性求函數的值域是常用的方法．