Question

定義在R上的函數f（x）滿足f（x+y）+1=f（x）+f（y）（x，y∈R），f（1）=0，且當x＞1時f（x）＜0．
（1）證明：f（x）在R上是減函數；
（2）若4f(

m+1

4

)≥3，求實數m的范圍．

Answer 1

分析：（1）通過取y=1，由已知的等式得到f（x）=f（x+1）+1，設x₁，x₂∈R，規定大小后通過轉化得到：若x₁＞x₂，則所以f（x₁-x₂+1）＜0，然后得到f（x₁）=f（x₁+1）+1=f[x₂+（x₁-x₂+1）]+1，展開后分析即可得到答案；
（2）運用f（x）=f（x+1）+1把4f(

m+1

4

)≥3的左邊展開，然后求出f（0）=1，借助于函數是減函數脫去“f”后求解不等式及可．

解答：（1）證明：取y=1，則f（x+1）+1=f（x）+f（1）=f（x）．設x₁，x₂∈R，且x₁＞x₂，則x₁-x₂＞0，x₁-x₂+1＞1，
因為當x＞1時f（x）＜0，所以f（x₁-x₂+1）＜0．
f（x₁）=f（x₁+1）+1=f[x₂+（x₁-x₂+1）]+1
=f（x₂）+f（x₁-x₂+1）-1+1=f（x₂）+f（x₁-x₂+1）．
因為f（x₁-x₂+1）＜0，所以f（x₂）＜f（x₁）．
所以函數f（x）在R上是減函數；
（2）解：取x=y=0，得f（0）+1=f（0）+f（0），
所以f（0）=1，
由4f(

m+1

4

)≥3，得4f(

m+1

4

)=4f(

m

4

)-1≥3．
所以4f(

m

4

)≥4，f(

m

4

)≥1．
因為f（x）為實數集上的減函數，且f（0）=1
所以

m

4

≤0．
則m≤0．
所以實數m的范圍是（-∞，0]．

點評：本題考查了抽象函數及其應用，考查了特值法判斷函數的單調性，考查了學生靈活處理和解決問題的能力，訓練了利用函數單調性求解不等式，是中檔題．