Question

在實數的原有運算法則中，我們補充定義新運算“⊕”如下：
當a≥b時，a⊕b=a；
當a＜b時，a⊕b=b²．
則函數f(x)=(1⊕x)?x-(2⊕x)lnx (x∈(0，2])有（　　）（“•”和“-”仍為通常的乘法和減法）

A．最大值為8-2ln2，無最小值

B．最大值為8-2ln2，最小值為1

C．無最大值，無最小值

D．無最大值，最小值為1

Answer 1

分析：首先認真分析找出規律，可以先分別求得（1⊕x）•x和（2⊕x），再求f（x）=（1⊕x）•x-（2⊕x）lnx的表達式．然后求出其最大值即可．

解答：解：∵x∈（0，2]，∴2≥x，故2⊕x=2，
當x∈（0，1]時，1≥x，1⊕x=1；當x∈（1，2]時，1＜x，1⊕x=x²
故f（x）=（1⊕x）?x-（2⊕x）lnx（x∈（0，2]）=

x-2lnx     x∈(0，1] x3-2lnx     x∈(1，2]

設函數p（x）=x-2lnx，x∈（0，1]，q（x）=x³-2lnx，x∈（1，2]
由p′（x）=1-

2

x

＜0可得p（x）=x-2lnx，x∈（0，1]，單調遞減，故f（1）=1為最小值，無最大值；
同理，q′（x）=3x2-

2

x

＞0可得 q（x）=x³-2lnx，x∈（1，2]單調遞增，
故g（2）=8-2ln2為最大值，無最小值，而且8-2ln2＞1．
綜上可得，f（x）在（0，2]上無最大值，有最小值1
故選D．

點評：此題主要考查新定義下的函數最值問題，解決此類問題時，主要是看懂新定義寫出函數的解析式．