Question

某班級共派出n+1個男生和n個女生參加學校運動會的入場儀式，其中男生甲為領隊．入場時，領隊男生甲必須排第一個，然后女生整體在男生的前面，排成一路縱隊入場，共有E_n種排法；入場后，又需從男生（含男生甲）和女生中各選一名代表到主席臺服務，共有F_n種選法．
（1）試求E_n和F_n；
（2）判斷lnE_n和F_n的大小（n∈N₊），并用數學歸納法證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據領隊男生甲必須排第一個，然后女生整體在男生的前面，排成一路縱隊入場，可得E_n；根據從男生（含男生甲）和女生中各選一名代表到主席臺服務，可得F_n；
（2）lnE_n=2lnn!，F_n=n（n+1），猜想2lnn!＜n（n+1），再用數學歸納法證明，第2步的證明，利用分析法進行證明．
解答：解：（1）根據領隊男生甲必須排第一個，然后女生整體在男生的前面，排成一路縱隊入場，可得；根據從男生（含男生甲）和女生中各選一名代表到主席臺服務，可得…4分
（2）因為lnE_n=2lnn!，F_n=n（n+1），所以lnE₁=0＜F₁=2，lnE₂=ln4＜F₂=6，lnE₃=ln36＜F₃=12，…，由此猜想：當n∈N^*
時，都有lnE_n＜F_n，即2lnn!＜n（n+1）…6分
下用數學歸納法證明2lnn!＜n（n+1）（n∈N^*）．
①當n=1時，該不等式顯然成立．
②假設當n=k（k∈N^*）時，不等式成立，即2lnk!＜k（k+1），
則當n=k+1時，2ln（k+1）!=2ln（k+1）+2lnk!＜2ln（k+1）+k（k+1），
要證當n=k+1時不等式成立，只要證：2ln（k+1）+k（k+1）≤（k+1）（k+2），
只要證：ln（k+1）≤k+1…8分
令f（x）=lnx-x，x∈（1，+∞），因為，所以f（x）在（1，+∞）上單調遞減，從而f（x）＜f（1）=-1＜0，而k+1∈（1，+∞），所以ln（k+1）≤k+1成立，
則當n=k+1時，不等式也成立．
綜合①②，得原不等式對任意的n∈N^*均成立…10分
點評：本題考查數學歸納法的運用，解題的關鍵是先猜后證，注意數學歸納法的證題步驟．