Question

【題目】已知函數f（x）=|x﹣2a|+|x﹣a|，a∈R，a≠0． （Ⅰ）當a=1時，解不等式f（x）＞3；
（Ⅱ）若b∈R，且b≠0，證明：f（b）≥f（a），并說明等號成立的條件．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）因為a=1，不等式變為|x﹣2|+|x﹣1|＞3， 當x＞2時，有2x﹣3＞3，
∴x＞3
當1≤x≤2時，有2﹣x+x﹣1＞3，
∴x∈φ
當x＜1時，有3﹣2x＞3，
∴x＜0
所以該不等式的解集為（﹣∞，0）∪（3，+∞）
證明：（Ⅱ）由題知f（a）=|a|，
f（b）=|b﹣2a|+|b﹣a|=|2a﹣b|+|b﹣a|
≥|2a﹣b+b﹣a|=|a|
即f（b）≥f（a），
所以等號成立的條件是：當且僅當2a﹣b與b﹣a同號或它們至少有一個為零
【解析】（I）將a=1代入，不等式化為具體的絕對值不等式，然后討論解之；（Ⅱ）由題知f（a）=|a|，f（b）=|b﹣2a|+|b﹣a|=|2a﹣b|+|b﹣a|≥|2a﹣b+b﹣a|=|a|，得證．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用絕對值不等式的解法的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規律：關鍵是去掉絕對值的符號．