Question

下列結論一定正確的是（　　）

• A、y=sin2x+

  4

  sin2x

  的最小值為4
• B、y=x+

  4

  x

  的最小值為4
• C、x²+3＞3x恒成立
• D、若

  1

  x

  ＜1，則x＞1

Answer 1

分析：對于A，觀察題設條件需要對表達式換元，進行等價轉化，再新解析式下求最值，不要忘記等號成立的條件，對于B，當x＜0時，函數沒有最小值，對于C，由于x²+3-3x=（x-

3

2

）²+

3

4

＞0，對于D，若

1

x

＜1，則x＞1或x＜0，從而選出正確選項．

解答：解：令sin²x=t∈（0，1]則函數y=sin2x+

4

sin2x

=t+

4

t

，t∈（0，1]
∵t+

4

t

≥4，等號當且僅當t=

4

t

時成立，即t=±2，但t∈（0，1]，
故y=sin2x+

4

sin2x

的最小值不能為4，故A錯；
對于B，當x＜0時，函數沒有最小值，故B錯；
對于C，由于x²+3-3x=（x-

3

2

）²+

3

4

＞0，故x²+3＞3x恒成立，正確；
對于D，若

1

x

＜1，則x＞1或x＜0，故錯．
故選C．

點評：本題考點是不等式求最值，求解上要注意變換形式的作用，換元最大的好處是形式簡單便于觀察解題的方向．