Question

f（x）是定義在R上的增函數，則下列結論一定正確的是（　　）

A．f（x）+f（-x）是偶函數且是增函數

B．f（x）+f（-x）是偶函數且是減函數

C．f（x）-f（-x）是奇函數且是增函數

D．f（x）-f（-x）是奇函數且是減函數[

Answer 1

分析：設F（x）=f（x）-f（-x），先根據符合函數的單調性判斷函數F（x）的單調性，再直接用-x代入計算，比較F（x）與F（-x），根據奇偶性的定義作出是奇函數判斷即可，從而選出正確選項．

解答：解：設F（x）=f（x）-f（-x），
∵f（x）是定義在R的增函數
∴f（-x）是定義在R的減函數，從而-f（-x）是定義在R的增函數，
∴F（x）=（x）-f（-x）在（-∞，+∞）的增函數，
∵F（x）=f（x）-f（-x）
∴F（-x）=f（-x）-f（x）
則F（x）=-F（-x）
∴函數F（x）為奇函數，且在（-∞，+∞）的增函數
故選C．

點評：本題主要考查函數奇偶性的定義以及函數單調性的判斷與證明，同時考查分析問題的能力，屬于中檔題．