Question

已知函數f（x）是定義在R上的偶函數，且x≥0時，f（x）=（

1

2

）^x，函數f（x）的值域為集合A．
（Ⅰ）求f（-1）的值；
（Ⅱ）設函數g（x）=

-x2+(a-1)x+a

的定義域為集合B，若A⊆B，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）題目給出函數f（x）是定義在R上的偶函數，且給出x≥0時的解析式，則f（1）可求，由偶函數的性質可求f（-1）的值；
（Ⅱ）由x得范圍求出f（x）的值域，由根式內部的代數式大于等于0求出定義域，再由A⊆B結合數軸可求a的取值范圍．

解答：解：（I）∵函數f（x）是定義在R上的偶函數，
∴f（-1）=f（1）．
又x≥0時，f（x）=(

1

2

)x，
∴f（1）=

1

2

．
則f（-1）=

1

2

．
（II）由函數f（x）是定義在R上的偶函數，可得函數f（x）的值域A即為
x≥0時的f（x）的取值集合．
當x≥0時，0＜(

1

2

)x≤1．
故函數f（x）的值域A=（0，1]．
∵g（x）=

-x2+(a-1)x+a

．
∴定義域B={x|-x²+（a-1）x+a≥0}．
由-x²+（a-1）x+a≥0，得
x²-（a-1）x-a≤0，
即 （x-a）（x+1）≤0．
∵A⊆B，

∴B=[-1，a]且a≥1．
∴實數a的取值范圍是{a|a≥1}．

點評：本題考查了函數的定義域及其求法，考查了集合間的關系及其應用，訓練了含字母的一元二次不等式的解法，是基礎題．