已知函數(shù)

(1)求函數(shù)

的最大值;
(2)若

,求

的取值范圍.
(3)證明:

+


(n

)
(1)0;(2)

;(3)詳見解析.
試題分析:(1)先求

,再利用

判斷函數(shù)

的單調(diào)性并求最值;
(2)思路一:由

,分

,

,

三種情況研究函數(shù)

的單調(diào)性,判斷

與

的關(guān)系,確定

的取值范圍.
思路二:由

,因為

,所以

令

,

,顯然


,知

為單調(diào)遞減函數(shù),
結(jié)合

在

上恒成立,可知


在

恒成立,轉(zhuǎn)化為

,從而求得

的取值范圍.
(3)在

中令

,得

時,

.將

代入上述不等式,再將得到的

個不等式相加可得結(jié)論.
解證:(1)

, 1分
當

時,

;當

時,

;當

時,

;
所以函數(shù)

在區(qū)間

上單調(diào)遞增,在區(qū)間

上單調(diào)遞減; 3分
故

. 4分
(2)解法一:

, 5分
當

時,因為

時

,所以

時,

; 6分
當

時,令

,

.
當

時,

,

單調(diào)遞減,且

,
故

在

內(nèi)存在唯一的零點

,使得對于

有

,
也即

.所以,當

時

; 8分
當

時,

時

,所以,當

時

9分
綜上,知

的取值范圍是

. 10分
解法二:

, 5分
令

,

.
當

時,

,所以

單調(diào)遞減. 6分
若在

內(nèi)存在使

的區(qū)間

,
則

在

上是增函數(shù),

,與已知不符. 8分
故

,

,此時

在

上是減函數(shù),

成立.
由

,

恒成立,而

,
則需

的最大值

,即

,

,
所以

的取值范圍是

. 10分
(3)在(2)中令

,得

時,

. 11分
將

代入上述不等式,再將得到的

個不等式相加,得

. 14分
練習冊系列答案
相關(guān)習題
科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
(14分)(2011•廣東)設(shè)a>0,討論函數(shù)f(x)=lnx+a(1﹣a)x2﹣2(1﹣a)x的單調(diào)性.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
已知函數(shù)


為自然對數(shù)的底數(shù)).
(1)求曲線

在

處的切線方程;
(2)若

是

的一個極值點,且點

,

滿足條件:

.
(ⅰ)求

的值;
(ⅱ)求證:點

,

,

是三個不同的點,且構(gòu)成直角三角形.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:填空題
已知函數(shù)y=f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當x>0時,f(x)+xf′(x)>0(其中f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)),設(shè)a=(

4)f(

4),b=

f(

),c=(lg

)f(lg

),則a,b,c由大到小的關(guān)系是________.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:填空題
已知

且

,現(xiàn)給出如下結(jié)論:
①

;②

;③

;④;

;
⑤

的極值為1和3.其中正確命題的序號為
.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
已知函數(shù)

.
(1)當

時,求函數(shù)

的單調(diào)區(qū)間;
(2)當

時,函數(shù)

圖象上的點都在

所表示的平面區(qū)域內(nèi),不等式

恒成立,求實數(shù)

的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
已知函數(shù)

.
(1)求函數(shù)

的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)

上是減函數(shù),求實數(shù)a的最小值;
(3)若

,使

成立,求實數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
已知函數(shù)

,

,直線

與 函數(shù)

的圖像都相切,且

與函數(shù)

圖像的切點的橫坐標為1,則

的值為 ( )
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
若f(x)=2lnx﹣x
2,則f′(x)>0的解集為( )
A.(0,1) |
B.(﹣∞,﹣1)∪(0,1) |
C.(﹣1,0)∪(1,+∞) |
D.(1,+∞) |
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