Question

對于方程x|x|+px+q=0進行討論，下面有四個結論：
①至多有三個實根；                     ②至少有一個實根；
③僅當p²-4q≥0時才有實根；          ④當p＜0且q＞0時，有三個實根．
以上結論中，正確的序號是

 

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Answer 1

分析：方程x|x|+px+q=0包含兩個方程：當x＞0時為x²+px+q=0（i）； 當x＜0時為-x²+px+q=0，也就是x²-px-q=0（ii）．先判斷方程（i）、（ii）有兩正根的充要條件，再對命題進行討論，即可得出結論．

解答：解：方程x|x|+px+q=0包含兩個方程：當x＞0時為x²+px+q=0（i）； 當x＜0時為-x²+px+q=0，也就是x²-px-q=0（ii）．
（i）的判別式是△₁=p²-4q，如果△₁＞0，且x₁+x₂=-p＞0，x₁x₂=q＞0時，則有兩個正根，即方程（i）有兩正根的充要條件是：p²-4q＞0，p＜0，q＞0（1）；
（ii）的判別式是△₂=p²+4q，如果△₂＞0，且x₁+x₂=p＜0，x₁x₂=-q＞0時，則有兩個負根；即方程（ii）有兩負根的充要條件是：p²+4q＞0，p＜0，q＜0（2）；
如果條件（1）滿足，方程（i）有兩個正根，方程（ii）則只有一個負根，因為這時q＞0，x₁x₂=-q＜0，故必有一個不能要的正根．
如果條件（2）滿足，方程（ii）有兩負根，而方程（i）則只有一個正根，另一根是負根不能要．
因此判斷①：至多有三個實根是正確的．
如果p²-4q＜0，則方程（i）無實根；此時p²＜4q，故必有q＞0，于是有p²+4q＞0，故方程（ii）至少有一個負根；同樣，如果p²+4q＜0，則方程（ii）無實根，此時4q＜-p²，故必有q＜0，于是必有 p²-4q＞0，故方程（i）至少有一個正根； 因此判斷②：至少有一個實根是正確的．
p²-4q≥0不是原方程有實根的必要條件，因為當p²-4q＜0，但只要p²+4q≥0原方程也會有實根，故判斷③是錯的．
p＜0且q＞0是原方程有三個實根的必要條件，不是充分條件，因此判斷④也是錯的．
綜上所述，正確的序號是①②．
故答案為：①②．

點評：本題考查命題真假的判斷，考查學生分析解決問題的能力，難度大．