Question

已知函數(shù)f(x)=x++b(x≠0)，其中a，b∈R，
（Ⅰ）若曲線y=f(x)在點(diǎn)P(2，f(2))處的切線方程為y=3x+1，求函數(shù)f(x)的解析式；
（Ⅱ）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；
（Ⅲ）若對于任意的a∈[，2]，不等式f(x)≤10在[，1]上恒成立，求b的取值范圍。

Answer 1

解：（Ⅰ），
由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得f′(2)=3，于是a=-8，
由切點(diǎn)P(2，f(2))在直線y=3x+1上可得-2+b=7，解得b=9，
所以函數(shù)f(x)的解析式為．
（Ⅱ），
當(dāng)a≤0時(shí)，顯然f′(x)＞0（x≠0），這時(shí)f(x)在（-∞，0），（0，+∞）上內(nèi)是增函數(shù)；
當(dāng)a＞0時(shí)，令f′(x)=0，解得，
當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：

所以f(x)在，內(nèi)是增函數(shù)，在，內(nèi)是減函數(shù)．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，f(x)在上的最大值為與f(1)的較大者，
對于任意的，不等式f(x)≤10在上恒成立，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，對任意的成立，
從而得，
所以滿足條件的b的取值范圍是．