Question

已知向量

a

=（1，1，0），

b

=（-1，0，2）．
（Ⅰ）若向量k

a

+

b

與向量2

a

-

b

互相平行，求實數k的值；
（Ⅱ） 求由向量

a

和向量

b

所確定的平面的單位法向量．

Answer 1

考點：平面的法向量,向量的數量積判斷向量的共線與垂直

專題：空間向量及應用

分析：（1）利用向量的線性運算、向量共線定理即可得出；
（2）利用相互垂直與向量的數量積之間的關系即可得出．

解答： 解：（1）向量k

a

+

b

=k（1，1，0）+（-1，0，2）=（k-1，k，2）．
向量2

a

-

b

=2（1，1，0）-（-1，0，2）=（3，2，-2）．
∵（k

a

+

b

）∥（2

a

-

b

），
∴

k-1

3

=

k

2

=

2

-2

，
解得k=-2．
（2）設平面的法向量

m

=（x，y，z），則

a

•

m

=

b

•

m

=0，
∴

x+y=0 -x+2y=0

，令z=1，解得x=2，y=-2，
即所求平面的一個法向量為（2，-2，1），
故單位法向量為(

2

3

，-

2

3

，

1

3

)或(-

2

3

，

2

3

，-

1

3

)．

點評：本題考查了向量的線性運算、向量共線定理、相互垂直與向量的數量積之間的關系、線面垂直的性質，屬于基礎題．