Question

已知函數f（x）的定義域為{x|x∈R且x≠0}，對定義域內的任意x₁，x₂，都有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），且當x＞1時，f（x）＞0，
（1）求f（-1）的值；
（2）求證：f（x）是偶函數；
（3）求證：f（x）在（0，+∞）上是增函數；
（4）當f（16）=2時，解不等式f（x）+f（6x-5）＜1．

Answer 1

考點：抽象函數及其應用

專題：函數的性質及應用

分析：（1）令x₁=x₂=1，即有f（1）=0，令x₁=x₂=-1，即有f（-1）=0；
（2）先判斷定義域是否關于原點對稱，再令x₁=x，x₂=-1，代入條件即可得證；
（3）令0＜x₁＜x₂，再由條件和單調性定義，即可得證；
（4）由f（16）=2，得f（4）=1，再由（2）（3）的結論，即可得到不等式，解出即可．

解答： （1）解：對定義域內任意x₁，x₂都有f（x₁x₂）=f（x₁）+f（x₂），
令x₁=x₂=1，則f（1）=2f（1），即有f（1）=0，
令x₁=x₂=-1，則f（1）=2f（-1），即有f（-1）=0；
（2）證明：函數f（x）的定義域是{x|x≠0，x∈R}，
令x₁=x，x₂=-1，則f（-x）=f（x）+f（-1）=f（x），
則f（x）是偶函數；
（3）證明：令0＜x₁＜x₂，則

x2

x1

＞1，
由x＞1，f（x）＞0，得f（

x2

x1

）＞0，
則有f（x₂）=f（x₁•

x2

x1

）=f（x₁）+f（

x2

x1

）＞f（x₁），
則f（x）在（0，+∞）是增函數；
（4）解：由f（16）=1，得f（16）=2f（4）=2，
∴f（4）=1
則f（x）+f（6x-5）＜1．
即為：f（6x²-5x）＜f（4），
∵f（x）在（0，+∞）是增函數；
∴

6x2-5x＞0 6x2-5x＜4

即6x²-5x＜4，即（2x+1）（3x-4）＜0
解得-

1

2

＜x＜0，或

5

6

＜x＜

4

3

，
∵f（x）是偶函數，
∴f（x）在（-∞，0）是減函數；
∴f（6x²-5x）＜f（4）=f（-4），
∴

6x2-5x＞-4 6x2-5x＜0

，
解得0＜x＜

5

6

，
故原不等式的解集為（-

1

2

，0）∪（0，

5

6

）∪（

5

6

，

4

3

）．

點評：本題考查了函數的性質，函數的奇偶性，函數單調性，不等式的解法，考查了運算能力，屬于中檔題