【題目】已知函數(shù)
.
（1）證明：函數(shù)
在
上存在唯一的零點；
（2）若函數(shù)
在區(qū)間上的最小值為1，求
的值.
【答案】（1）證明見解析；（2）
【解析】
（1）求解出導函數(shù)，分析導函數(shù)的單調(diào)性，再結合零點的存在性定理說明
在
上存在唯一的零點即可；
（2）根據(jù)導函數(shù)零點
，判斷出
的單調(diào)性，從而
可確定，利用
以及
的單調(diào)性，可確定出
之間的關系，從而
的值可求.
（1）證明：∵
，∴
.
∵
在區(qū)間上單調(diào)遞增，
在區(qū)間上單調(diào)遞減，
∴函數(shù)在上單調(diào)遞增.
又
，令
，
，
則
在上單調(diào)遞減，
，故
.
令
，則
所以函數(shù)在上存在唯一的零點.
（2）解：由（1）可知存在唯一的
，使得
，即
（*）.
函數(shù)在上單調(diào)遞增.
∴當
時，
，
單調(diào)遞減；當
時，
，單調(diào)遞增.
∴
.
由（*）式得
.
∴
，顯然
是方程的解.
又∵是單調(diào)遞減函數(shù)，方程有且僅有唯一的解，
把
代入（*）式，得
，∴
，即所求實數(shù)的值為.
周周清檢測系列答案
輕巧奪冠周測月考直通高考系列答案科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】有
件產(chǎn)品，其中
件是次品，其余都是合格品，現(xiàn)不放回的從中依次抽
件.求：（1）第一次抽到次品的概率；
（2）第一次和第二次都抽到次品的概率；
（3）在第一次抽到次品的條件下，第二次抽到次品的概率.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐
中，側(cè)棱
底面
，
，
，
，
，
是棱
中點.
（1）已知點
在棱上，且平面
平面
，試確定點的位置并說明理由；
（2）設點
是線段
上的動點，當點在何處時，直線
與平面
所成角最大？并求最大角的正弦值.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系
中，直線
的參數(shù)方程為
（
為參數(shù)），以原點為極點，
軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線
的極坐標方程為
.
（1）分別寫出直線的普通方程與曲線的直角坐標方程；
（2）已知點
，直線與曲線相交于
兩點，求證：
.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】設函數(shù)
，其中
．
（1）當
時，求函數(shù)
的圖象在點
處的切線方程；
（2）討論函數(shù)
的單調(diào)性；
（3）當
，且
時，證明不等式
．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】記無窮數(shù)列
的前n項
，
，…，
的最大項為
，第n項之后的各項
，
，…的最小項為
，
．
（1）若數(shù)列的通項公式為
，寫出
，
，
；
（2）若數(shù)列
的通項公式為
，判斷
是否為等差數(shù)列，若是，求出公差；若不是，請說明理由；
（3）若數(shù)列為公差大于零的等差數(shù)列，求證：是等差數(shù)列．
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