Question

【題目】設函數，其中．

（1）當時，求函數的圖象在點處的切線方程；

（2）討論函數的單調性；

（3）當，且時，證明不等式．

Answer 1

【答案】（1）．（2）見解析（3）見解析

【解析】

（1）求導后求出斜率，點斜式即可求出答案；

（2）求導得，分和討論，借助導數即可求出單調性；

（3）當時，，令，利用導數可得函數在區間上單調遞增，得時，，對任意正整數，取，有，利用裂項相消法即可證明．

解：（1）當時，，

∴，故切線的斜率為2，

∴函數的圖象在點處的切線方程為；

（2），

當時，，函數在區間上單調遞增，

當時，，解得，，

①當時，，，

令，解得，令，解得，

∴函數在區間上單調遞減，在上單調遞增，

②當時，，

令，解得或，令，解得，

∴函數在區間上單調遞減，

在，上單調遞增；

（3）證明：當時，，

令，

在區間上恒為正，

∴函數在區間上單調遞增，

當）時，，

∴當時，，

即，對任意正整數，取，有，

∴

．