Question

【題目】已知，為拋物線上的相異兩點，且.

（1）若直線過，求的值；

（2）若直線的垂直平分線交軸與點，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）設直線的方程為，聯立拋物線方程，運用韋達定理和中點坐標公式，以及弦長公式，計算可得所求值；

（2）設線段的中點為，，運用中點坐標公式和直線的斜率公式，以及直線方程，可得的坐標，

設出直線的方程代入拋物線方程，運用韋達定理，以及弦長公式和點到直線的距離公式，化簡整理，結合基本不等式可得所求最大值．

解：（1）當垂直于軸或斜率為零時，顯然不符合題意，所以可設直線的方程為，

代入方程，得

故

，

結合解得.

因此，.

（2）設線段的中點為，，

則，，．

線段的垂直平分線的方程是，①

由題意知，是①的一個解，

所以線段的垂直平分線與軸的交點為定點，

且點坐標為．

直線的方程為，

即，②

②代入得，即，③

依題意，，是方程③的兩個實根，且，

所以△，即．，，

，

點到線段的距離，

．

當且僅當，即時，上式取得等號．

所以面積的最大值為．