Question

【題目】設(shè) A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）是函數(shù)f（x）=x﹣ 的圖象上任意兩點(diǎn)，若 M為 A，B的中點(diǎn)，且 M的橫坐標(biāo)為1．
（1）求y1+y2；
（2）若Tn= ，n∈N* ， 求 Tn；
（3）已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an= （n≥1，n∈N*），數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ， 若不等式2nSn＜m2n﹣4Tn+5對任意n∈N*恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn)，則：x1+x2=2，

∴

（2）解：由（1），當(dāng)x1+x2=2時(shí)，有f（x1）+f（x2）=2，

故

由Tn= ，

Tn= ，

2Tn= = ×2n×2=2n，

∴Tn=n

（3）解：由已知：Sn=1+ ，

= +…+ ， ，

∴Sn=3﹣ ．

不等式2nSn＜m2n﹣4Tn+5即32n﹣（n+3）＜m2n﹣4n+5，

也即（m﹣3）2n＞3n﹣8，即m﹣3＞ 恒成立，

故只需 ．

令bn= ，

當(dāng)n≥2時(shí)，bn﹣bn﹣1= ，

當(dāng)n≤4時(shí)，bn﹣bn﹣1＞0，當(dāng)n≥5時(shí)，bn﹣bn﹣1＜0，

故b1＜b2＜b3＜b4； b4＞b5＞b6＞

故（bn）max=b4= ，

∴m﹣3＞ ，解得：m＞

【解析】（1）利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可得出；（2）由（1），當(dāng)x1+x2=2時(shí)，有f（x1）+f（x2）=2，利用此結(jié)論可得Tn ． （3）利用“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出Sn ． 不等式2nSn＜m2n﹣4Tn+5，即m﹣3＞ 恒成立，故只需 ．令bn= ，研究其單調(diào)性即可得出．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解數(shù)列的前n項(xiàng)和的相關(guān)知識(shí)，掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系．