Question

【題目】對于函數(shù)與，若存在實(shí)數(shù)滿足，且，則稱為的一個點(diǎn).

(1)證明：函數(shù)與不存在的點(diǎn)；

(2)若函數(shù)與存在的點(diǎn)，求的范圍；

(3)已知函數(shù)，證明：存在正實(shí)數(shù)，對于區(qū)間內(nèi)任意一個皆是函數(shù)的點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）；（3）詳見解析.

【解析】

（1）通過證明證得命題成立.（2）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求得最小值，由此證得在上恒成立.然后分成兩種情況討論，由此求得的取值范圍.（3）取，利用導(dǎo)數(shù)證明所取正實(shí)數(shù)符合題意.

（1）證明：因?yàn)?/span>恒成立，

所以，不存在實(shí)數(shù)滿足，

故不存在的點(diǎn)

（2）構(gòu)造函數(shù)F（x）＝＝，

函數(shù)F（x）的定義域?yàn)椋?，＋∞），

＝0，得：x＝1，

x	(0，1)	1	(1，＋∞)
	－	0	＋
F（x）	↘		↗

x＝1是F（x）的唯一極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)，

所以，F(xiàn)（x）min＝F（1）＝0，即F（x）≥0恒成立，

所以，在定義域（0，＋∞）內(nèi)，x0－1≥lnx0恒成立，

當(dāng)x0≥1時，｜x0－1｜＝x0－1，｜lnx0｜＝lnx0，

因?yàn)閤0－1≥lnx0恒成立，所以，｜x0－1｜≥｜lnx0｜恒成立，為的一個點(diǎn).

當(dāng)0＜x0＜1時，｜x0－1｜＝－（x0－1），｜lnx0｜＝－lnx0，

由x0－1≥lnx0，得：－（x0－1）≤－lnx0，即｜x0－1｜≤｜lnx0｜，此時不是的一個點(diǎn).

所以，的取值范圍為［1，＋∞）.

(3)證明：取，因?yàn)?/span>，所以，下面證明所取正實(shí)數(shù)符合題意.當(dāng)時，，有，且顯然成了又因?yàn)楫?dāng)時，有，所以 .故當(dāng)時，即恒成立，即存在正實(shí)數(shù)，對于區(qū)間內(nèi)任一個皆是函數(shù)的點(diǎn).