【題目】已知函數
，
，
．
(Ⅰ)當
時，求曲線
在
處的切線方程；
(Ⅱ)求
的單調區間；
(Ⅲ)設
，若對于任意
，總存在
，使得
成立，求
的取值范圍．
【答案】(Ⅰ)
；(Ⅱ)見解析； (Ⅲ)
.
【解析】
(Ⅰ)求解出點
，再利用導數求出切線斜率，從而得切線方程；(Ⅱ)求導后，分別在
、
和
三個范圍中討論導函數的符號，即可得到原函數的單調性；(Ⅲ)將問題轉化為
在
上的值域是
在上的值域的子集，利用導數分別求解出兩個函數的值域，從而構造不等式，解出取值范圍.
(Ⅰ)當
時，
，所以
所以
所以曲線
在
處的切線方程為
，即
(Ⅱ)
的定義域是
，
令
，得
①當時，
，所以函數的單調增區間是
②當時，
變化如下：
|
|
|
|
|
|
|
| + |
| - | - |
| + |
| ↗ | 極大值 | ↘ | ↘ | 極小值 | ↗ |
所以函數的單調增區間是
，單調減區間是
③當時，變化如下：
|
|
|
|
|
|
|
| + |
| - | - |
| + |
| ↗ | 極大值 | ↘ | ↘ | 極小值 | ↗ |
所以函數的單調增區間是
，單調減區間是
(Ⅲ)因為
，所以
當時，
所以
在
上恒成立，所以在上單調遞增
所以在上的最小值是
，最大值是
即當
時，的取值范圍為
由(Ⅱ)知，當
時，
，在
上單調遞減，在
上單調遞增
因為
，所以不合題意
當
時，
，在上單調遞減
所以在上的最大值為
，最小值為
所以當時，的取值范圍為
“對于任意
，總存在
，使得
成立”等價于
即
，解得
所以
的取值范圍為
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】四色猜想是世界三大數學猜想之一，1976年數學家阿佩爾與哈肯證明，稱為四色定理.其內容是：“任意一張平面地圖只用四種顏色就能使具有共同邊界的國家涂上不同的顏色.”用數學語言表示為“將平面任意地細分為不相重疊的區域，每一個區域總可以用1，2，3，4四個數字之一標記，而不會使相鄰的兩個區域得到相同的數字.”如圖，網格紙上小正方形的邊長為1，粗實線圍城的各區域上分別標有數字1，2，3，4的四色地圖符合四色定理，區域
和區域
標記的數字丟失.若在該四色地圖上隨機取一點，則恰好取在標記為1的區域的概率所有可能值中，最大的是______.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系
中，圓
的參數方程為
（
為參數），以
為極點，
軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，直線
的極坐標方程為
．
（1）求的極坐標方程和直線的直角坐標方程；
（2）射線
與圓的交點為，
，與直線的交點為
，求
的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知數列
的前n項和為
，且滿足
，數列
中，
，對任意正整數
，
.
（1）求數列的通項公式；
（2）是否存在實數
，使得數列
是等比數列？若存在，請求出實數及公比q的值，若不存在，請說明理由；
（3）求數列前n項和
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某品牌餐飲公司準備在10個規模相當的地區開設加盟店，為合理安排各地區加盟店的個數，先在其中5個地區試點，得到試點地區加盟店個數分別為1，2，3，4，5時，單店日平均營業額
（萬元）的數據如下：
加盟店個數 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
單店日平均營業額 | 10.9 | 10.2 | 9 | 7.8 | 7.1 |
（1）求單店日平均營業額（萬元）與所在地區加盟店個數
（個）的線性回歸方程；
（2）根據試點調研結果，為保證規模和效益，在其他5個地區，該公司要求同一地區所有加盟店的日平均營業額預計值總和不低于35萬元，求一個地區開設加盟店個數
的所有可能取值；
（3）小趙與小王都準備加入該公司的加盟店，根據公司規定，他們只能分別從其他五個地區（加盟店都不少于2個）中隨機選一個地區加入，求他們選取的地區相同的概率.
（參考數據及公式：
，
，線性回歸方程
，其中
，
.）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】《九章算術》中，將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬；將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑。若三棱錐P-ABC為鱉臑，PA⊥面ABC,PA=AB=2,AC=4,三棱錐P-ABC的四個頂點都在球的球面上，則球0的表面積為( )
A. 8πB. 12πC. 20πD. 24π
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