Question

【題目】已知函數（，是自然對數的底數），是函數的一個極值點．

（1）求函數的單調遞增區間；

（2）設，若，不等式恒成立，求的最大值．

Answer 1

【答案】(1) 和．(2)

【解析】

（1）先對函數求導，得到，根據，得到，推出，解不等式，即可得出結果；

（2）先由不等式恒成立，得到恒成立，記，分別討論和兩種情況，根據導數的方法研究函數最值，得到，再令，根據導數方法求其最值即可.

（1）因為，所以，

∵是函數的一個極值點，∴，解得

則．

令，解得或，

故函數的單調遞增區間為和．

（2）不等式，可化為，

記，，

當時，恒成立，則在上遞增，沒有最小值，故不成立；

當時，令，解得，當時，；

當時，，

當時，函數取得最小值，

即，則

令，，令，

則，當時，；當時，，

故當時，取得最大值，

所以，即的最大值為．