Question

設雙曲線的左、右焦點分別為F₁、F₂，A是雙曲線漸近線上的一點，AF₁⊥AF₂，原點O到直線AF₁的距離為|OF₁|，則雙曲線的離心率為(    )

A．+1

B．-1

C．

D．2

Answer 1

D

不失一般性,設A(m,n)(m>0,n>0)在y=x上,AC⊥x軸,交x軸于C.作OB垂直于AF₁,交AF₁于B點,由題意OB∥AF₂,且|OB|=|AF₂|
∵|OB|=|OF₁|=c
∴|AF₂|=2|OB|=c
又AF₁⊥AF₂
∴|AF₁|==c
由三角形的等面積性得|AF₁|·|AF₂|=n×2cn=c
在Rt△ACF₂中,|CF₂|==c
∴m=c-c=c
∴c=×c=e=2．