Question

集合A是由適合以下性質的函數f（x）構成的：對于任意的，且u、υ∈（﹣1，1），都有|f（u）﹣f（υ）|≤3|u﹣υ|．
（1）判斷函數 是否在集合A中？并說明理由；
（2）設函數f（x）=ax²+bx，且f（x）∈A，試求2a+b的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，若f（2）=6，且對于滿足（2）的每個實數a，存在最小的實數m，使得當x∈[m，2]時，|f（x）|≤6恒成立，試求用a表示m的表達式．

Answer 1

解：（1）f₁（x）∈A，任取u、υ∈（﹣1，1），且u≠υ，則
因為|u|＜，|υ|＜，且|u+υ|≤|u|+|υ|
所以＜1
所以|f₁（u）﹣f₁（2）|＜|u﹣υ|＜3|u﹣υ|，亦即f₁（x）∈A
（2）因為f（x）=ax²+bx屬于集合A，所以，任取u、υ∈（﹣1，1）且u≠υ，
則3|u﹣υ|≥|f（u）﹣f（υ）|=|（u﹣υ）（au+aυ+b）|，也即|au+aυ+b|≤3  ①
設t=u+υ，則上式化為|at+b|≤3②
因為u，υ∈（﹣1，1），所以﹣2＜t＜2
①式對任意的u，υ∈（﹣1，1）恒成立，即②式對t∈（﹣2，2）恒成立可以證明|2a|+|b|≤3，所以|2a+b|≤3，
即2a+b∈[﹣3，3]
（3）由f（2）=6可知2a+b=3
又由（2）可知﹣3≤2a+b≤3，所以 ，
當a=0時，b=3，f（x）=3x在[m，2]上為單調遞增函數，f（m）=3m，f（2）=4
令3m=﹣6，可得m=﹣2
當a＞0時，．
此時，，
且當x∈R時f（x）的最小值為
若，即時，m為方程f（x）=6的較小根，
所以
若＜﹣6，即0＜a＜時，
由于f（x）在上單調遞增，
所以m為方程f（x）=﹣6的較大根，所以，
綜上可知，m=