Question

已知數列{a_n}是等差數列，且a₁=1，a₁+a₂+a₃=6
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）令b_n=a_nxⁿ（x∈R）．求數列{b_n}前n項和的公式．

Answer 1

考點：數列的求和,等差數列的通項公式

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）利用已知條件求出數列的公差，即可求數列{a_n}的通項公式；
（2）化簡b_n=a_nxⁿ（x∈R）．利用錯位相減法即可求數列{b_n}前n項和的公式．

解答： 解：（1）設數列{a_n}公差為d，則a₁+a₂+a₃=3a₁+3d=6，又a₁=1，∴d=1．
所以a_n=n．
（2）解：令S_n=b₁+b₂+…+b_n，則由bn=anxn=nxn，
得Sn=x+2x2+…(n-1)xn-1+nxn，①
xSn=x2+2x3+…+(n-1)xn+nxn+1，②
當x≠1時，①式減去②式，得(1-x)Sn=(x+x2+…xn)-nxn+1=

x(1-xn)

1-x

-nxn+1，
所以Sn=

x(1-xn)

(1-x)2

-

nxn+1

1-x

．
當x=1時，Sn=1+2+…+n=

n(n+1)

2

，綜上可得當x=1時，Sn=

n(n+1)

2

當x≠1時，Sn=

x(1-xn)

(1-x)2

-

nxn+1

1-x

．

點評：本題考查等差數列的應用，數列求和的方法錯位相減法，基本知識的考查．