Question

（本小題滿分16分）已知橢圓：的離心率為，直線
：與橢圓相切．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，直線過(guò)點(diǎn)且垂直與橢圓的長(zhǎng)軸，動(dòng)直線垂直于直線于點(diǎn)，線段的垂直平分線交于點(diǎn)，求點(diǎn)的軌跡的方程.

Answer 1

解：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823201726917608.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，
橢圓的方程可設(shè)為·····································4分
與直線方程聯(lián)立，消去，可得，
因?yàn)橹本�與橢圓相切，所以，
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823201727136359.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，
所以，橢圓的方程為；····································8分
（2）由題意可知，，
又為點(diǎn)到直線的距離，·······································10分
所以，點(diǎn)到直線的距離與到點(diǎn)的距離相等，即點(diǎn)的軌跡是以直線為準(zhǔn)線，
點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線，···········································14分
因?yàn)橹本�的方程為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
所以，點(diǎn)的軌跡的方程為；································16分

略