Question

已知點P是直角坐標平面內的動點，點P到直線的距離為d₁，到點F（– 1，0）的距離為d₂，且．
(1)   求動點P所在曲線C的方程；
(2)   直線過點F且與曲線C交于不同兩點A、B(點A或B不在x軸上)，分別過A、B點作直線的垂線，對應的垂足分別為，試判斷點F與以線段為直徑的圓的位置關系(指在圓內、圓上、圓外等情況)；
(3)   記，，(A、B、是(2)中的點)，問是否存在實數，使成立．若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

20．(1) 設動點為 

依據題意，有，化簡得．
即為動點P所在曲線C的方程。·························································· 3分
(2) 點F在以MN為直徑的圓的外部．
理由：由題意可知，當過點F的直線的斜率為0時，不合題意，故可設直線：，如圖所示．聯立方程組，可化為，則點、的坐標滿足．
又、，可得點、．
因，，則=．
于是，為銳角，即點F在以MN為直徑的圓的外部．······················· 10分
(3) 依據 (2) 可算出，，
則，
．
所以，，即存在實數使得結論成立．······························· 12分

略