Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且Sn=3•2n-1-2．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）令b_n=（3n-2）a_n，求數列{b_n}的前n項和為T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當n=1時，a₁=1，當n≥2時，利用a_n=S_n-S_n-1可求
（Ⅱ）當n=1時，T₁=1
當n≥2時，Tn=1+4•3•20+7•3•21+10•3•22+…+(3n-2)•3•2n-2=1+3（4•2⁰+7•2¹+10•2²+…+（3n-2）2^n-2，Gn=4•20+7•21+10•22+…+(3n-2)2n-2，然后利用錯位相減可求G_n，進而可求

解答：解：（Ⅰ）當n=1時，a₁=1
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=3•2^n-1-2-3•2^n-2+2=3•2^n-2
即an=

1(n=1) 3•2n-2(n≥2)

；
（Ⅱ）當n=1時，T₁=1
當n≥2時，Tn=1+4•3•20+7•3•21+10•3•22+…+(3n-2)•3•2n-2
=1+3（4•2⁰+7•2¹+10•2²+…+（3n-2）2^n-2）
令Gn=4•20+7•21+10•22+…+(3n-2)2n-2
2G_n=4•2+7•2²+…+（3n-5）•2^n-2+（3n-2）•2^n-1
兩式相減-Gn=4+3(2+22+…+2n-2)-(3n-2)•2n-1
=4+3•

2(1-2n-2)

1-2

-(3n-2)•2n-1
∴Gn=(3n-5)2n-1+2
所以Tn=3(3n-5)2n-1+7

點評：本題主要考查了數列的遞推公式an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

在數列通項公式中的應用，錯位相減求解數列的和是求和方法中的重點，要注意掌握