Question

己知集合M={(x，y)|x>0，y>0，x+y=k}，其中k為正常數。
（1）設t=xy，求t的取值范圍；
（2）求證：當k≥1時，不等式對任意（x，y）∈M恒成立；
（3）求使不等式對任意（x，y）∈M恒成立的k的范圍。

Answer 1

解：（1），
當x=y=k時取等號，
所以xy的取值范圍為。
（2），
，
∴，
故在上為增函數，
∴。
（3）由（2）知，即求對t∈恒成立的k的范圍，
又在上遞減，在上遞增，
要使函數在上恒有，則必須，
解得。