Question

【題目】已知點，直線：，平面上有一動點，記點到的距離為.若動點滿足：.

（1）求點的軌跡方程；

（2）過的動直線與點的軌跡交于，兩點，試問：在軸上，是否存在定點，使得為常數？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在定點，使得為常數，點

【解析】

（1）設點，可得到的表達式，結合，可求得的關系式，即為所求軌跡方程；

（2）若直線的斜率存在，設過點的直線：，與軌跡方程聯立，可得到關于的一元二次方程及根與系數關系，設，，，可得到的表達式，將根與系數關系代入上式，整理并化簡可求得定點及定值，若直線的斜率不存在，驗證可知也滿足題意.

（1）設點，則，，展開得，

所以的軌跡方程為；

（2）假設在軸上存在定點，使得為常數，設，，，

則，，

若直線的斜率存在，不妨設過點的直線：，，

，，

則 ，

不妨設，則

化簡可得，

令，解得，，

即為常數，點，；

若直線的斜率不存在，設在的上方，可得，，經驗證滿足.

故在軸上，存在定點，使得為常數，點，.