Question

1．如圖，四棱錐S-ABCD中，SD⊥底面ABCD，AB∥DC，AD⊥DC，AB=AD=1，DC=SD=2，E為棱SB上的一點(diǎn)，且SE=2EB．
（1）證明：DE⊥平面SBC；
（2）證明：求二面角A-DE-C的大小．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出ED⊥BS，DE⊥EC，由此能證明ED⊥平面SBC．
（2）推導(dǎo)出△ADE為等腰三角形，取ED中點(diǎn)F，連接AF，則AF⊥DE，連接FG，則FG∥EC，F(xiàn)G⊥DE．從而∠AFG是二面角A-DE-C的平面角，由此能求出二面角A-DE-C的大小．

解答 證明：（1）因?yàn)镾D⊥底面ABCD，AB∥DC，AD⊥DC，AB=AD=1，
DC=SD=2，E為棱SB上的三等分點(diǎn)，SE=2EB，
所以ED⊥BS，DE⊥EC，
所以ED⊥平面SBC．
解：（2）∵SA²=SD²+AD²=5，AB=1，SE=2EB，AB⊥SA，
∴AE²=（$\frac{1}{3}$ SA）²+（$\frac{2}{3}$ AB）²=1，又AD=1．故△ADE為等腰三角形．
取ED中點(diǎn)F，連接AF，則AF⊥DE，AF²=AD²-DF²=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
連接FG，則FG∥EC，F(xiàn)G⊥DE．
所以，∠AFG是二面角A-DE-C的平面角．
連接AG，AG=2，F(xiàn)G²=DG²-DF²=$\frac{2}{3}$，
cos∠AFG=$\frac{A{F}^{2}+F{G}^{2}-A{G}^{2}}{2•AF•FG}$=-$\frac{1}{2}$，
∴二面角A-DE-C的大小為120°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的證明，考查二面角的大小的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．