Question

若a＞0，b＞0且a+b=7，則

4

a

+

1

b+2

的最小值為（　　）

• A、

  8

  9

• B、1
• C、

  9

  8

• D、

  102

  77

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：由于a＞0，b＞0且a+b=7，可得a=7-b＞0，0＜b＜7.

4

a

+

1

b+2

=

4

7-b

+

1

b+2

=f（b），再利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可得出．

解答：解：∵a＞0，b＞0且a+b=7，∴a=7-b＞0，∴0＜b＜7．
∴

4

a

+

1

b+2

=

4

7-b

+

1

b+2

=f（b），
∴f′(b)=

4

(b-7)2

-

1

(b+2)2

=

3(b+10)(b-1)

(b-7)2(b+2)2

，
令f′（b）=0，解得b=1．此時(shí)a=6．
當(dāng)0＜b＜1時(shí)，f′（b）＜0，此時(shí)函數(shù)f（b）單調(diào)遞減；當(dāng)1＜b時(shí)，f′（b）＞0，此時(shí)函數(shù)f（b）單調(diào)遞增．
∴當(dāng)b=1時(shí)，函數(shù)f（b）取得極小值即小值．
f（1）=

4

6

+

1

1+2

=1．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值，屬于基礎(chǔ)題．