Question

若(1+x+x2)(x+

1

x3

)n(n∈N*)的展開式中沒有常數項，則n的可能取值是（　　）

A．7

B．8

C．9

D．10

Answer 1

分析：由題意可得可得（x+x^-3）ⁿ的展開式中沒有常數項，且沒有x^-1項，且沒有x^-2項．根據（x+x^-3）ⁿ的展開式的通項公式可得x的冪指數為n-4r，故n-4r=0無解，
且n-4r=-1無解，且n-4r=-2無解，結合所給的選項，從而得出結論．

解答：解：若(1+x+x2)(x+

1

x3

)n(n∈N*)的展開式中沒有常數項，可得（x+x^-3）ⁿ的展開式中沒有常數項，且沒有x^-1項，且沒有x^-2項．
而（x+x^-3）ⁿ的展開式的通項公式為 T_r+1=

C

r n

•x^n-r•x^-3r=

C

r n

•x^n-4r，
故n-4r=0無解，且n-4r=-1無解，且n-4r=-2無解．
結合所給的選項可得，n=9，
故選C．

點評：本題主要考查二項式定理的應用，體現了轉化的數學思想，屬于中檔題．