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已知函數是定義在R上的偶函數,對于任意成立;當,且時,都有.給出下列四個命題:①;②直線是函數圖象的一條對稱軸;③函數上為增函數;④函數上有335個零點.

其中正確命題的個數為( )

A.1 B.2 C.3 D.4

 

B

【解析】

試題分析:①:對于任意x∈R,都有f(x+6)=f (x)+f (3)成立,令x=-3,則f(-3+6)=f(-3)+f (3),即f(-3)=0,又因為f(x)是R上的偶函數,所以f(3)=0,即①正確;

②:由(1)知f(x+6)=f (x),所以f(x)的周期為6,又因為f(x)是R上的偶函數,所以f(x+6)=f(-x),而f(x)的周期為6,所以f(x+6)=f(-6+x),f(-x)=f(-x-6),

所以:f(-6-x)=f(-6+x),所以直線x=-6是函數y=f(x)的圖象的一條對稱軸,即②正確;

③:當x1,x2∈[0,3],且x1≠x2時,都有,所以函數y=f(x)在[0,3]上為增函數,

因為f(x)是R上的偶函數,所以函數y=f(x)在[-3,0]上為減函數而f(x)的周期為6,所以函數y=f(x)在[-9,-6]上為減函數,故③錯誤;④:f(3)=0,f(x)的周期為6,函數y=f(x)在[0,3]上為增函數,在[3,6]上為減函數,所以:y=f(x)在[0,6]上只有一個零點3,而2014=335×6+3,所以,函數y=f(x)在[0,2014]上有335+1=336個零點,故④錯誤.故正確命題的個數為2個,故選:B.

考點:命題的真假判斷與應用.

 

練習冊系列答案
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