Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，給出下列四個命題：
①若Sn=n2+bn+c(b，c∈R)，則{a_n}為等差數列；
②若{a_n}為等差數列且a₁＞0，則數列{a1an}為等比數列；
③若{a_n}為等比數列，則{lga_n}為等差數列；
④若{a_n}為等差數列，且S_n=100，a_2n+1+a_2n+2+…+a_3n=-120，則S_2n=90，其中真命題有______．

Answer 1

因為等差數列的前n項和，是關于n的二次函數，不含非0常數項，所以①不正確；
{a_n}為等差數列且a₁＞0，則數列{a1an}為等比數列，所以a_n=a₁+（n-1）d，
所以a1an=a1a1+(n-1)d，

a1an

a1an-1

=a1a1+(n-1)d-a1-(n-2)d=a1d，
所以數列{a1an}為等比數列，正確．
③若{a_n}為等比數列，則{lga_n}為等差數列，如果a_n=-2，lga_n沒有意義，所以不正確；
對于④{a_n}為等差數列，且S_n=100，a_2n+1+a_2n+2+…+a_3n=-120，則S_2n=90，
所以S_2n-S_n=90-100=-10，S_3n-S_2n=a_2n+1+a_2n+2+…+a_3n=-120，
100，-10，-120，是等差數列，所以④正確；
故答案為：②④．